線運動量と角運動量を比較できるという当然の権利をやっと勝ち取った(2012年、日本)
剛体の線運動量がm・rVであるという正しい定義によって、
物理学史上初めて､線運動量と角運動量が統一され、そして運動量とエネルギーも統一された。
線運動量と角運動量を同等の立場で扱えるようになった。
簡単に言えば､
線運動量と角運動量が等しければ､
並進の運動エネルギーと回転エネルギーもまた等しい。
こんな当然のことが今まで理解できなかったなんて?!
物理学者たちは､運動量について今まで何を理解していたと言うのだろう?
剛体の運動量と運動エネルギーの統一(2012年、日本)(世界初!!)
Unification of Momentum and Kinetic Energy of Rigid Body
長さ2rの剛体棒の例で具体的に比較してみよう。
- 角速度ω=V/rで重心回りで回転している剛体棒の角運動量Lc
- 同じ速度Vで並進する剛体棒の線運動量P(長さ方向と直角に進む)
従来、線運動量P=mVと角運動量Lc=1/3mrVは、全く比較の対象にならなかった。
ところが、剛体の線運動量がm・rVであると言う正しい定義が解明されたことによって、剛体棒の角運動量と線運動量の比は、
- Lc：P = 1/3m・rV：m・rV = 1：3
つまり、回転するよりも並進するほうが運動量が3倍大きい。
同様に、エネルギーも、回転よりも並進の方が3倍大きい。
この関係を厳密に説明すれば、それはV=r・ωということであり、
それは、線運動量がm・rVであることの正当性を意味する。
結局、
- 「運動量が同じなら、運動エネルギーも同じ」
という当然の結果です。
線運動量(Linear Momentum)と角運動量(Angular Momentum)には本質的な違いはないと言うことです。
このように、並進運動と回転運動を対等に比較・評価できる。
比較できて当然です。
剛体の運動量と運動エネルギーはついに統一された。
このことは、いかに今までの科学がいい加減だったのかということを物語っている。こんなことも統一できていなかったのですから、
「大統一理論(Grand Unified Theory)」を完成することなどできるはずもなかった。
やっと、「大統一理論」を論じるための土台ができたと言うことです。
今までは、フライングをしたことに気づかずに走り続けていたようなものです。これで本当のスタートを切ることができる。
剛体の運動量と運動エネルギーの関係(2012年、日本)(世界初!!)
前項の内容をより厳密に説明しよう。
線運動量と角運動量の比が運動エネルギーと回転エネルギーの比と等しいという式を変形すると、V=r・ωというよく見慣れた式になる。
実にシンプルで美しい関係性がある。
そして、V=r・ωには次の項に示すような意味がある｡
\[ {\Large \fbox{ $ \displaystyle{ \begin{align} 運動量とエネルギー&の関係:\\ 1つの見方は、&運動量の比がエネルギーの比と等しい、\\ \frac{\color{red}{m\hspace{2pt}r\hspace{2pt}V}}{I_c\omega}=&\frac{\frac{1}{2}mV^{2}}{\frac{1}{2}I_c\omega^{2}}\\ 別の見方は、&運動量当たりのエネルギーが等しい、\\ \frac{\frac{1}{2}I_c\omega^{2}}{I_c\omega}=&\frac{\frac{1}{2}mV^{2}}{\color{red}{m\hspace{2pt}r\hspace{2pt}V}}\\ これをまとめると、\\ \therefore r=&\frac{V}{\omega}\\ よく見慣れたV=r\hspace{2pt}\omega&という式と等価です。\\ あるいは、以下のように&変形することもできる｡\\ m\hspace{2pt}r\hspace{2pt}V=&\frac{1}{C}I_c\omega\\ \frac{1}{2}mV^{2}=&C\omega\frac{1}{2}I_c\omega^{2}\\ つまり、線運動量とはC=1&のときの角運動量と等価であり、\\ 運動エネルギーとはC=1&のときの回転エネルギーに\\ さらに角速度を掛けたもの&と等価である。\\ m:&質量\\ m\hspace{2pt}r:&線慣性\\ I_c=&Cm\hspace{2pt}r^{2}:重心回りの角慣性(慣性モーメント)\\ C:&角質量係数(均質な剛体球C=\frac{2}{5})\\ r:&並進方向と直角な方向の半径\\ \end{align} } $ } } \]
角質量係数についてはここを参照｡
並進速度と回転速度は一般的には独立しているので、
これは、この後説明するように、真の転がりも含めて、
「剛体の表面を中心にした回転」を意味する。
ただし、この関係がそういう回転のときだけと言う意味ではない。
剛体表面を中心にした回転というのが、重心回りの回転と並進が完全に分離しているからです。
要するに、同じ物体が並進だけしているケースと、重心回りの回転のみのケースで、その線運動量と角運動量がまったく同じ値であれば、それぞれのエネルギーも同じ値であることを意味する。
つまり、線運動量と角運動量には本質的な違いはないということを明確に示している。
線運動量m・rVと角運動量Iωが同じ次元を持つ「運動量という1つの物理量」に属しているからです。
結局、このことも、線運動量がm・rVであることの正当性を示している。
線運動量がmVであるという従来の間違った定義から同様の変形をしてみると、ω=Vというまったく無意味な結果しか得られない。
これでも、まだ、剛体の運動量がmVだと信じ続けますか?
V=rωの意味(2012年、日本)(世界初!!)
「剛体の表面を中心にした回転」(真の転がりを含む)を表わす式、
- V=rω
は以下のように変形できる｡
あるいは、前項の式を変形しても同様の結果が得られる｡
\[ {\Large \fbox{ $ \displaystyle{ \begin{align} 「剛体の表面&を中心にした回転」(真の転がりを含む)の条件:\\ V=&r\omega\\ 両辺にmrを&掛けると、\\ \underbrace{mrV}_{線運動量}=&\underbrace{mr^{2}\omega}_{C=1のときの角運動量}\\ =&\frac{I_c}{C}\omega\\ つまり、線運動量&と角運動量の比は真の転がりかどうかを示す｡\\ m:&質量\\ r:&並進方向と直角な方向の半径\\ m\hspace{2pt}r:&線慣性\\ V:&速度[m/s]\\ \omega:&角速度[rad/s]\\ I_c=&Cm\hspace{2pt}r^{2}:重心回りの角慣性(慣性モーメント)\\ C:&角質量係数(均質な剛体球C=\frac{2}{5})\\ \end{align} } $ } } \]
言い方を変えれば、
線運動量と角運動量の比は、真の転がりかどうかを判定する指標になる｡
前項で示したように、
運動エネルギーと回転エネルギーの比は、角速度ωが掛けられている。
そのため、この違いを強調している｡
太陽系の惑星、特に、巨大惑星という具体例を見れば、このことをより理解できる｡