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傾斜の強さを求める計算式(1983年 日本)

私も上りと下りの比を使って、傾斜の強さgを求める式を1983年頃に考えたのですが、基本的な考え方は同じです。


式(１－４)を使うと、L_uとL_dは以下のように表される。
\[ {\Large \fbox{ $ \displaystyle{ \begin{align} L_{u}=&\frac{1}{f+g} \\ L_{d}=&\frac{1}{f-g} \ \ \ …{\normalsize(2-4-1)}\\ \end{align} } $ } } \]
f=1とし比をとって変形するか、単にfを消去すれば以下のようになる。
\[ {\Large \fbox{ $ \displaystyle{ \begin{align} {\normalsize傾斜の強さ}g=&\frac{L_{d}-L_{u}}{L_{d}+L_{u}} \ \ \ …{\normalsize(2-4)}\\ \end{align} } $ } } \]
これが、1983年に私が求めた式です。


逆に、式(2-4-1)からgを消去すれば、
\[ {\Large \fbox{ $ \displaystyle{ \begin{align} \frac{1}{f}=\frac{2\times L_{d}\times L_{u}}{L_{d}+L_{u}} \ \ \ …{\normalsize(2-4-2)}\\ \end{align} } $ } } \]
となり、式(2-4-0)と同じになる。1/fは、平面上で摩擦fだけが働いているときに転がる距離、つまり、グリーンスピードです。
この2つの式は、式(2-4-1)でfを消去するか、gを消去するかの違いでしかない。
斜面で上り/下りのグリーンスピードを測定すれば、平面換算のグリーンスピードも傾斜の強さも同時に求めることができる。一石二鳥の測定方法と言うわけです。
同じ初速で転がすので、摩擦fと傾斜の強さgという2つの値が連立方程式から求められるのは当然ですね。


例えば、L_u= 5フィート、L_d= 10フィートだとすれば(下りがちょうど2倍転がりやすい)、

• グリーンスピード1/f	6.6フィート
  傾斜の強さg	0.3333

ということがわかる。


g= 0.3333は傾斜として(曲がり方:

)は大したことはないし、速さ6.6フィートという値はトーナメントではSlow( スティンプメータの値 )なのに、それでいて10フィートも下ってしまう。

• このことから、斜面で速さを調べるというのは、かなり限定されることが分かる。BREDE氏が5.6%(3.2度)の傾斜までの実験しか出来なかったのは、そういう理由もあると思われる。

日本のグリーンでさえ5度(8.7%)程度まで存在する(参考文献[1])ことから考えても、5.6%というのはそれほど大した傾斜ではない。


ちなみに、BREDE氏によるレポートのグラフから計算してみると、はっきりした値が書いてないので概算ですが、傾斜の強さg= 0.06〜0.64と計算できる。


BREDE氏がどのようにして式(2-4-0)を求めたのかははっきりとは書かれてないが、同様の求め方をしたと思われる。ということは、逆の見方をすれば、私のこのサイトでの考え方が基本的には間違ってないということを間接的に証明しているという見方もできる。


結局、上りと下りの距離を測定すれば、グリーンの速さも傾斜の強さも同時にわかるということです。

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USGAのグリーン

Jerry Lemons氏(ゴルフコースデザイナー)の論文、
Putting Green Speeds, Slopes, and “Non-Conforming” Hole Locations, USGA Green Section Record (Jul-Aug 2008), 21-25)は、<span style="color:red; font-size:12pt">傾斜の強さg</span>の妥当性を示していると言う点で、実に興味深い。


この論文の主旨は、最近のグリーンスピードの高速化を危惧して、カップをどこに切るべきかという問題に対して、ゴルフコースデザイナーという立場から、グリーンスピードと傾斜角を指標にして実用的に判断できるようにした、ということです。


この論文によれば、「USGA Course Rating 2007 System Guide」に、
　「下りが上りの2倍が適度な傾斜」
　「下りが上りの3倍はきつい傾斜」
と説明されている。これは傾斜の強さで言えば、式(2-4)で計算すると、それぞれ、

• g≈0.3
• g=0.5

に相当する。
つまり、傾斜の強さg=0.5でさえきつい、ということです。


傾斜角は、式(2-28)から、例えばトーナメントレベルのグリーンスピードGs=11ft、傾斜の強さg=0.5のとき、傾斜角θ≈2.04[deg]と計算できる。これは、Lemons氏の論文で言えば、Recommended SlopeとMarginal Slopeの境界に当たるので、実にもっともらしい。


ちなみに、教科書的な考え方で表した式(2-6-0)を使って式(2-28)を求め直して計算すると、傾斜角θ≈5.10[deg]と計算されるので、Lemons氏の実験結果からかけ離れている(<span style="color:blue; font-size:12pt">反例4</span>)。


下図はLemons氏の論文からの引用で、g値を書き加えたものです。
Critical Slopeとの境界がg≈0.71、Recommended Slopeの境界の傾斜の強さg≈0.5となっていて、実にきれいに当てはまっている。


これは、「下りが上りの3倍はきつい傾斜」がg=0.5ということとぴったりと符合する。
そして、式(2-4)から、g≈0.71は「下りが上りの約6倍」に相当する。


結局、下りが上りの3倍〜6倍(g=0.5〜0.71)の範囲がMarginal(境界)ということを示している。


この図が具体的にどのような実験によってプロットしたのかということは説明されていないが、下りが上りの何倍転がるのかということを調べたものと考えられます。実に全うなデータと言っていいでしょう。


この図の範囲で、傾斜の強さg=0.156〜1.561という値を示していることも興味深い。現実のグリーンでは、この程度の値であることを明確に示している。

WolframAlphaを用いて 式(2-28)を 同じ範囲でプロットしたのが下図です。 Lemons氏の実測データと ほぼ一致しています。

以上のことから、<span style="color:red; font-size:12pt">式(2-28)</span>や<span style="color:red; font-size:12pt">式(2-4)</span>の正当性が実験的に証明された、ということです。Lemons氏に感謝したい。


実験で確かめられるのは､0< g< 1の範囲だけです。
傾斜の強さgが1以上になるとボールが止まらないので､上りと下りの比を調べることができないからです。g=1に限りなく近い0.999のようなケースでも、下りが1000倍も転がってしまうので､そんな場所を確保できない。実質的に計測不能です。


それに対して､式(2-28)は、どんな値であっても計算できる。
Lemons氏のように実験しなくても、計算だけでこのグラフを描くことができるし、このグラフの任意の点の傾斜の強さを計算で求めることも簡単にできる。


グリーンスピードと傾斜角の意味を正しく評価するには､式(2-28)が不可欠ということが言えます。